「モノポリー解析」

by 大森田不可止


【概論】

【各論】

《0》ゲームの値

《1》駒の移動

1)ダイスによる駒の前進

2)一般的な駒の分布

以下、「GO」の枡を0、「地中海」を1・・・と番号付けする。10番目が「Just Visiting」、30番目が「Jail」である。こうすると、プレイヤーの取り得る値、則ち、状態空間Sは

S={ 0,1,2,・・・,39 }                               (1)

となる。
1)のダイスによる進行の他に、カードによる移動、「GO TO JAIL」による移動も考慮する。まず、1個の駒の存在確率を与える40次の状態確率ベクトルDnを次のように定義する。

   D0     = { d0i |i=0,・・・,39 }
        =  1 (i=0) , 0 (i≠0)  :スタート地点
   Dn+1 = P・Dn                                             (2)

 ここで、推移確率行列 Pは40行40列の正方行列で、その要素は

   P(n,m)=p(n→m)                                         (3)

である。実は、カードによる移動は、それまでにでたカードの種類によって確率が変動する。また、「Jail」から出る出ないは、プレイヤーが恣意的に決断できる。従って、全てのpnを確定できないが、ここでは全てのカードは等確率と考え、「Jail」については、即出る場合と出ない場合の2通りのみについてだけ考える。

モノポリーのゲームを考えれば、十分大きなMに対して PM(M回の推移確率行列)>0 であるから、これは正則な連鎖である。従って、

   A = lim(i→∞) Pi                                     (4)
 が存在して、Aの各行は ωP=ω を満たす唯一つの確率ベクトルに等しい。このωが定常な場合の一般的な各桝の存在確率を与える。

 (表2)に、数値解析的に求めたωの値を示す。それぞれの数値は1周の間にそこを通過する確率のパーセンテージである。



(表2.1)各桝目の定常的存在確率

          Jailから  すぐ出る場合           出ない場合
 0)Go                   17.36:############     17.35:###########
 1)Mediterranean Ave.   11.99:########         12.00:########
 2)Community Chest 1    12.09:########         12.11:########
 3)Baltic Ave.          12.17:########         12.19:########
 4)Income Tax           13.08:#########        13.11:########
 5)Reading Railroad     16.70:###########      16.79:###########
 6)Oriental Ave.        12.71:#########        12.75:########
 7)Chance 1             12.97:#########        13.02:########
 8)Vermont Ave.         13.02:#########        13.07:########
 9)Connecticut Ave.     12.92:#########        12.97:########
10)Just Visiting        12.74:#########        12.78:########
11)St.Charles Place     15.20:##########       15.30:##########
12)Electric Co.         14.64:##########       15.62:##########
13)States Ave.          13.34:#########        13.00:########
14)Verginia Ave.        13.86:#########        14.48:#########
15)Pennsylvania R.R.    16.43:###########      15.75:##########
16)St.James Place       15.72:###########      15.99:##########
17)Community Chest 2    17.52:############     16.48:##########
18)Tennessee Ave.       16.54:###########      16.83:###########
19)New York Ave.        17.41:############     16.81:###########
20)Free Parking         16.30:###########      16.91:###########
21)Kentuckey Ave.       16.06:###########      15.68:##########
22)Chance 2             15.86:###########      16.73:###########
23)Indiana Ave.         15.56:##########       15.45:##########
24)Illinois Ave.        18.14:############     18.04:###########
25)B.&O. Railroad       17.45:############     17.42:###########
26)Atlantic Ave.        15.42:##########       15.29:##########
27)Ventnor Ave.         15.25:##########       15.16:##########
28)Water Works          15.98:###########      15.96:##########
29)Marvin Gardens       14.72:##########       14.67:#########
30)Jail                 22.28:###############  55.98:##############‖#####
31)Pacific Ave.         15.24:##########       15.19:##########
32)North Carolina Ave.  14.94:##########       14.89:#########
33)Community Chest 3    14.58:##########       14.52:#########
34)Pnnsylvania Ave.     14.22:##########       14.18:#########
35)Short Line           13.83:#########        13.79:#########
36)Chance 3             13.10:#########        13.08:########
37)Park Place           12.38:########         12.36:########
38)Luxury Tax           12.29:########         12.29:########
39)Boardwalk            14.81:##########       14.87:#########
                        TOTAL = 5.9681         TOTAL = 6.3086


(表2.2)エリアごとの集計
      |D.Prpl|L.Blue|L.Prpl|Orange| Red  |Yellow|Green |D.Blue| R.R  | E&W  |
------+------+------+------+------+------+------+------+------+------+------+
      | 24.16| 38.65| 42.41| 49.66| 49.76| 45.38| 44.40| 27.19| 64.41| 30.62|
------+------+------+------+------+------+------+------+------+------+------+
      | 24.22| 38.82| 42.84| 49.71| 49.24| 45.18| 44.33| 27.26| 63.82| 31.63|


 上の結果から、各エリアの収益の期待値が計算できて(表3)のようになる。鉄道、電力・水道は所有カード数、それ以外は家を何件ずつ建てたかを縦軸に取ってある。


(表3)各エリアの定常的収益期待値(Jailから出ない場合)

House   D.Purpl L.BlueL.Purpl Orange    Red Yellow  Green D.Blue   R.R.  E.&W.
  0         0.7    2.6    4.6    7.3    9.2   10.2   11.8   11.8    4.0    4.4
  1         3.6   12.9   22.8   36.4   46.1   51.1   60.4   51.4   15.9   22.1
  2        10.9   36.2   68.5  102.6  131.9  153.3  181.1  151.0   47.8   ....
  3        32.8  108.6  199.8  281.4  353.2  368.2  412.5  344.1  127.5   ....
  4        58.2  161.6  278.3  380.7  439.2  447.2  501.1  413.5   ....   ....
  5        84.9  219.8  342.6  480.0  525.2  526.1  582.1  482.8   ....   ....


3)ある桝目からの駒の移動分布

各プレイヤーの位置から、家を建てるべきか否かを決断しなければならないことがある。このために、ある桝目にいる駒が次にあるエリアに移動する確率を計算しておく。

(表4)
Start pos \ area | D.P | L.B | L.P | Org | Red | Yel | Gre | D.B | R.R | Util|
------------------+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
Go                | 5.57<40.79>10.83| 3.83| 2.34| 0.30| 0.08| 1.10|16.24| 5.31|
Mediterranean Ave.| 2.81<43.16>15.47| 4.01| 2.81| 0.44| 0.21| 0.95|12.84| 7.76|
Community Chest 1 | 0.00<39.76>23.81| 4.38| 3.03| 0.48| 0.16| 0.77| 9.67|10.33|
Baltic Ave.       | 0.03|31.19|30.96| 4.32| 3.54| 0.77| 0.31| 0.62| 9.15|12.69|
Income Tax        | 0.00|22.47<39.07> 7.23| 3.81| 0.94| 0.26| 0.45| 8.83|15.25|
Reading Railroad  | 0.04|14.20<40.63> 9.70| 4.08| 1.37| 0.40| 0.31|11.05<17.61>
Oriental Ave.     | 0.00| 8.35<43.10>15.16| 4.24| 1.82| 0.36| 0.14|13.53|14.77|
Chance 1          | 0.02| 2.86<39.86>23.12| 4.27| 2.40| 0.50| 0.18|16.20|12.01|
Vermont Ave.      | 0.02| 0.03|31.14|30.98| 4.52| 2.94| 0.68| 0.18<18.93> 9.37|
Connecticut Ave.  | 0.05| 0.08|22.57<38.72> 7.09| 3.43| 0.98| 0.25|16.04| 6.75|
------------------+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
Just Visiting     | 0.07| 0.19|14.37<41.22>10.09| 3.39| 1.21| 0.43|13.81| 4.13|
St.Charles Place  | 0.10| 0.08| 8.79<43.41>15.35| 4.11| 1.87| 0.66|11.43| 1.81|
Electric Co.      | 0.12| 0.20| 3.52<40.45>23.68| 3.84| 2.30| 0.82| 9.26| 1.89|
States Ave.       | 0.16| 0.10| 0.79|31.77|31.50| 4.31| 3.01| 1.15| 9.75| 2.26|
Verginia Ave.     | 0.17| 0.23| 1.08|23.49<39.61> 6.60| 3.32| 1.36|10.42| 2.28|
Pennsylvania R.R. | 0.23| 0.15| 1.13|15.03<41.82>12.38| 3.93| 1.85|13.70| 2.56|
St.James Place    | 0.23| 0.29| 1.09| 9.34<43.98>17.24| 3.99| 1.84|16.11| 4.95|
Community Chest 2 | 0.37| 0.16| 0.79| 3.48<40.52>25.65| 4.38| 2.15|18.27| 7.62|
Tennessee Ave.    | 0.23| 0.28| 0.73| 0.65|31.64|32.99| 3.89| 1.46<20.07> 9.89|
New York Ave.     | 0.73| 0.26| 0.49| 0.35|22.89<41.17> 7.12| 2.56|17.10|12.51|
------------------+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
Free Parking      | 0.73| 0.38| 0.44| 0.30|14.25<42.91>11.98| 1.87|13.36|14.73|
Kentuckey Ave.    | 1.30| 0.43| 0.22| 0.01| 8.44<40.06>17.74| 2.71|10.46<17.28>
Chance 2          | 1.47| 0.40| 0.23| 0.04| 2.87<36.82>25.32| 2.08| 7.21|14.34|
Indiana Ave.      | 2.05| 0.70| 0.30| 0.03| 0.11|28.17<33.48> 2.95| 7.77|11.45|
Illinois Ave.     | 1.75| 0.76| 0.70| 0.26| 0.42|19.70<40.93> 2.27| 7.87| 8.87|
B.&O. Railroad    | 2.62| 1.32| 0.75| 0.07| 0.47|11.19<43.39> 6.01|11.76| 6.13|
Atlantic Ave.     | 2.16| 1.58| 1.16| 0.31| 0.77| 5.66<39.83> 7.97|14.64| 3.62|
Ventnor Ave.      | 2.86| 2.34| 1.27| 0.14| 0.84| 2.78<36.82>14.32|18.36| 0.96|
Water Works       | 2.26| 2.65| 1.76| 0.40| 1.14| 0.10|27.94|18.94<21.10> 1.30|
Marvin Gardens    | 5.56| 3.46| 2.00| 0.24| 1.22| 0.01|19.61<25.11>19.22| 1.48|
------------------+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
Jail              | 0.00| 0.00| 6.00|14.89| 1.70| 0.00| 0.00| 0.17| 3.57| 2.95|
Pacific Ave.      |13.52| 4.22| 2.46| 0.36| 0.93| 0.02| 5.56<29.51>12.53| 1.45|
Nor.Carolina Ave. |18.42| 4.20| 3.02| 0.69| 0.93| 0.11| 2.86<28.93> 9.19| 1.59|
Community Chest 3 |24.04| 4.44| 3.16| 0.61| 0.67| 0.04| 0.01|23.06| 8.78| 1.54|
Pnnsylvania Ave.  <28.74> 7.02| 3.78| 1.09| 0.67| 0.15| 0.08|17.00| 8.29| 1.61|
Short Line        <28.83> 9.96| 3.51| 1.07| 0.76| 0.15| 0.10|11.47|11.09| 1.55|
Chance 3          <28.41>14.99| 4.51| 1.72| 0.80| 0.12| 0.01| 5.99|14.54| 1.88|
Park Place        |22.65|23.21| 4.37| 2.10| 1.27| 0.23| 0.11| 3.39|17.64| 2.03|
Luxury Tax        |16.83|30.81| 5.12| 2.80| 1.39| 0.20| 0.03| 0.77<20.94> 2.28|
Boardwalk         |11.22<38.80> 7.54| 3.23| 2.00| 0.33| 0.14| 0.95|18.48| 2.36|
------------------+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+


《2》プレイヤーの資産

各プレイヤーに対する貸借対照表及び損益計算書を(表5)のように記述する。

(表5)貸借対照表・損益計算書
--------------------------------------+----------------------------------------
(資産の部)                          |(資本の部)
   固定資産            |   資本金               $1500
     家付きのエリア              |
     所有物件の1/2            |
   流動資産                        |
     所有物件の1/2(抵当額)  +----------------------------------------
     現金                        |(収入)
--------------------------------------+   サラリー
(支出)                              |      カード収入
   税金(Luxuary Tax/Income Tax)    |      物件収益
   カード支出                      |   取引利益(損失の場合マイナス)
   物件支出                        |
   損失(抵当金利、家の取り壊し) |
--------------------------------------+---------------------------------------

 (利益)=(収入)−(支出)                                           (5)
 と置けば(表5)の上半分は貸借対照表となる。また、収入・支出の各項目に対して、ある期間(例えば、次の1ターン、次の4ターンなど)の期待値を次のように計算可能である。

 (収益期待値)=    Σ       Σ    p(player)*(支払い額)
                  (他のプレイヤー)(自分の物件)                       (6)

 (支出期待値)=    Σ     p(player)*(支払い額)              (7)
         (他人の物件)

  p:その期間にその物件に止まる確率。

 また、利益期待値を次のように定義できる。

 (利益期待値)=(収入期待値)−(支出期待値)                         (8)
 それぞれの期待値のなかで、戦略的に可変であるのは、物件収益・物件支出である。モノポリーは、最終的には資産を最大化するゲームであり、そのためには、利益期待値を最大化する戦略を取らなければならない。則ち、物件収益期待値を確保し、物件支出期待値を抑えるのが、基本的戦略となる。(当然の結論)

 所有物件に関しては、含み資産が発生する。つまり、資産価値$400の「ボードウォーク」でも、「パークプレイス」の所有者の状態やその他の状況により、それ以上の金額で売ることができる。ただし、この金額は流動的であり、売った結果、支出期待値の増大を招く恐れもある。

 ある支払いが発生したとき、その金額が資産を越えれば破産(含み資産により救済される場合もある)。所有現金を越えると、物件を抵当に入れなければならず、物件収益期待値の減少を招く。家の取り壊しに及べば、資産額の半分の現金しか得られないので損失が加算され、さらに、失う物件収益期待値も大きい。

 (最大支払い額)>(流動資産)                                         (9)

となった状況では、利益期待値の増大だけでなく、こういった危機的状況を極力回避することが必要になってくる。単純には、式(7)の(支払い額)の項を、(損害額)に置き換えることで評価できる。

また、逆に相手に大きなダメージを与えられるのは、支払い額が流動資産を越えたときであるから、優位に立っている相手に勝負を掛ける場合は、少なくても流動資産を越える支払いが発生する物件を作らなければならない。

《3》物件の価値

1)物件の発展性

あるプレイヤーが、エリア独占ができる最後のカードを得る場合、それによってどれだけの利益をあげられるかは、そのエリアの収益増から式(6)によって評価できる。この場合、家を建てるのに、

 積極策(最大):(流動資産)
 安全策(最小):(流動資産−最大支払い額−α)

までの、金額を使えると考える。また、式(6)で計算する期間は、物件支払いに他の変化が起こらない間となる。則ち、物件が流動的な場合は、この値はあまりあてにならない。逆に、物件の流動が起こりそうももない場合は、少々の収益増でも大きな利益が期待できる。

また、家を建てるとき3件目が大幅に収益増になることはよく知られている。ここでは、発展性を考える。それぞれのエリアで、収益が発生した場合、あと何件の家が建てられるかを(表6)に示す。


(表6)エリアの発展性(平均収入とそれにより購買可能な家の数)

House | D.Purpl| L.Blue | L.Purpl| Orange |   Red  | Yellow | Green  | D.Blue |
------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+
確率  |   24.22|   38.82|   42.84|   49.71|   49.24|   45.18|   44.33|   27.26|
Price |    $50 |    $50 |   $100 |   $100 |   $150 |   $150 |   $200 |   $200 |
   *7 |    --- |   $350 |   $700 |   $700 |  $1050 |  $1050 |  $1400 |   ---- |
------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+
 $500 |    +10 |     14 |     10 |      9 |      8 |      7 |      7 |      4 |
      |   $500 |   $700 |  $1000 |   $900 |  $1200 |  $1050 |  $1400 |   $800 |
      |      0 |      0 |    +60 |    +70 |   +100 |   +106 |    +87 |   +175 |
------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+
    0 |     $6 |    $14 |    $22 |    $30 |    $37 |    $45 |    $53 |    $80 |
      |      +9|     +19|     +31|     +43|     +56|    +68 |     +84|    +108|
    1 |    $15 |    $33 |    $53 |    $73 |    $93 |   $113 |   $137 |   $188 |
      |     +45|     +60|    +107|    +134|    +174|    +227|    +273|    +362|
    2 |    $60 |    $93 |   $160 |   $207 |   $267 |   $340 |   $410 |   $550 |
      |     +75|    +187|    +307|    +360|    +450|    +477|    +523|    +700|
    3 |   $135 |   $280 |   $467 |   $567 |   $717 |   $817 |   $933 |  $1250 |
      |    +105|    +137|    +183|    +200|    +175|    +175|    +200|    +300|
    4 |   $240 |   $417 |   $650 |   $767 |   $892 |   $992 |  $1133 |  $1500 |
      |    +110|    +150|    +150|    +200|    +175|    +175|    +184|    +250|
    5 |   $350 |   $567 |   $800 |   $967 |  $1067 |  $1167 |  $1317 |  $1750 |
------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+
    0 |  .1    |  .3    |  .2    |  .3    |  .2    |  .3    |  .3    |  .4    |
    1 |  .3    |  .7    |  .5    |  .7    |  .6    |  .8    |  .7    |  .9    |
    2 |1.2    |1.9    |1.6    |2.1    |1.8    |2.3    |2.1    |2.8    |
      |     +37|     +62|    +102|    +240|    +150|    +318|    +349|    +700|
    3 |2.7    |5.6    |4.7    |5.7    |4.8    |5.4    |4.7    |4  /450|
      |     +70|    +237|    +233|    +333|    +233|    +292|    +261|    +550|
    4 |2  /140|3  /267|3  /359|3  /467|3  /442|3  /542|3  /533|2 /1100|
      |    +110|    +150|    +150|    +200|    +175|    +175|    +184|    +250|
------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+
目安  |   10 |   12 |   10 |     9 |     8 |     7 |     6 |     3 |

オレンジのエリア以降は、家2件ずつからでも1回収益が上がれば発展の可能性は大きい。ライトパープルがオレンジに比較して人気がないのは、止まる確率ばかりでなく発展性の面でもやや落ちる点があるようである。

上の表から3物件のエリアでは、7件の家が建つかどうかが一つの分かれ目になるのがわかる。7件建てば、1回のの収益で3件ずつの家にすることができる。また、横の比較でみた場合、$500の収益を上げるのをひとつの目安とすれば、それに対する必要投資額、またその時点での$100投資に対する収益増加額が上のような値になる。


《4》取り引き

取り引きは、n人からなるプレイヤーの集合N={1,2,...,n}から二人選んだ部分集合{i,j}(i≠j)の間での提携である。この部分集合は、(n(n−1)/2)個存在して、n=4,5,6の場合、それぞれ6,10,15通りである。

いま、{i,j}間の取り引きのみを考える。これは、非ゼロ和2人ゲームである。このとき、i,jそれぞれが手に入れる利益をu,vとすれば、可能な取り引きの全組合せR(実行可能集合)のなかで、最低限保証されるのは交渉が決裂した場合の空集合、則ち、(u,v)=(0,0)の点である。Rの中で、パレート最適である点を(u0,v0)とする。当然、u0,v0≧0である。これは、Rのなかで、uvが最大となる点である。

ここで、u,vの値は得る利益に比例するとは限らず、それぞれの効用を考慮しなければならない。この効用は、他のプレイヤーとの取り引きの可能性、現金の必要性などに左右される。例えば、$2000と電力水道を持っているプレイヤーiと、$10と抵当に入ったグリーンを持ったプレイヤーjとの物件の交換は、不合理なようでも、その効用を考えれば妥当な場合がある。

また、この例で脅迫戦略が考えられる。これは、プレイヤーjが交換の他にある金額dを要求し、受け入れられない場合脅迫戦略(この場合は、交渉の決裂を意味する)を実行すると、おどしをかけるのである。プレイヤーiも脅迫戦略を選択できて、話合いによって、最適なdの額が決定される。脅迫戦略では、脅迫の強い方が得をする。上の場合では、プレイヤーiに他の取り引きの可能性が薄い場合、プレイヤーjの脅迫が効果的になるであろう。

まず、単純に取り引きの効用は利益期待値の増加だけだとする。すると、取り引きによってお互いが効用を得るのは、双方で物件を揃え合う場合である。例えば、お互いの3物件目を交換するとき、相手にダークパープルを渡しオレンジを1枚もらって揃うとき、また、破産寸前の相手から抵当には入ったレッドをもらい代わりに鉄道4枚を渡す場合などが考えられる。この取り引きのお互いの収支は、

 利益期待値の増加=揃った物件の収益期待値−揃えさせた物件への支払い期待値 (10)

となる。このとき他のプレイヤーは、(双方が揃えた物件に対する支払い期待値)の分だけ、不利益が増すことになる。このタイプの取り引きが、最も効果的で、計量化しやすい。

しかし、実際の取り引きでは効用はそう単純ではない。効用として考えられるものを以下に列挙する。

   a)利益期待値の増加。   → 最終目標。
   b)次の取引への準備。   → 次の取引で必要になる物件の入手。
   c)現金の取得。      → 危機の回避。取り引きへの準備。家の購入。
   d)相手の現金を減少させる。→ 取り引きの牽制、動きを取りにくくする。
   e)キーになる物件の取得。 → 特定のプレイヤーの牽制。
   f)状況の多様化。     → 独走状態の回避。

b)は、2段階の取り引きで、結果的には3人で取り引きを行なうのと同じである。しかし、手順には慎重さが必要である。三者での取引は他のプレーヤーが切り崩し易いし、狙いが明確なだけに、脅迫による損失を被り易いからである。

c)は、実際に現金が必要になってからの交渉だと相手の脅迫が有効になるので、その前に取り引きしてしまうべきである。

d・eは、自分の介入できない効果的取り引きが成立する前に、多少損でもその取り引きを成立させないように動く訳である。

fは、序盤であるプレイヤーが自力独占をしたような場合、他の物件が揃わなければ、積極的に家を建ててくるはずなので、一気に勝負が決してしまう恐れがある。それを、牽制するために別のプレイヤーにも物件を揃えさせてしまう戦術である。

【実戦】

バーナード流の組織論に従えば、モノポリーというゲームを行うために集まった5人の「組織」の目的はゲームを楽しみ、お互いの親睦を深めることにある。また、各個人の目的はゲーム上では勝利することであるし、この目的は「ゲームを楽しむ」ことに貢献する。前者の第一の目標のためにルール以前のエチケットを守るべきだし、ルールの範囲内で、各プレイヤーは勝つための最善の努力をするべきである。また、そんな奴はいないと思うが、求道的にモノポリーを極めようとしているやつとか、大金を賭けてゲームをしているやつとかがプレイヤーのなかにいなければ、ゲーム中の会話は行き過ぎない程度に楽しむ方が、第一の目的に沿っていると思う。


(参考文献)

  1. 亀和田俊明著「快楽モノポリー講座」 TBSブリタニカ
  2. 渡部隆一著「マルコフ・チェーン」 共立出版 ワンポイント双書
  3. 西田俊夫「ゲームの理論」 日科技連 ORライブラリー
  4. 鈴木光男・武藤滋夫著「協力ゲームの理論」 東京大学出版会